Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若的最小值為，求實(shí)數(shù)的值；

（3）若對(duì)任意實(shí)數(shù)、、，均存在以、、為三邊邊長(zhǎng)的三角形，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）問(wèn)題等價(jià)于4x+k2x+1＞0恒成立，分離出參數(shù)k后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題即可；

（2），令，則，分k＞1，k＝1，k＜1三種情況進(jìn)行討論求出f（x）的最小值，令其為﹣3即可解得k值；

（3）由題意得f（x1）+f（x2）＞f（x3）對(duì)任意x1，x2，x3∈R恒成立，當(dāng)k＝1時(shí)易判斷；當(dāng)k＞1，k＜1時(shí)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題解決即可，借助（2）問(wèn)結(jié)論易求函數(shù)的最值.

（1）因?yàn)?/span>4x+2x+1＞0，所以f（x）＞0恒成立，等價(jià)于4x+k2x+1＞0恒成立，即k＞﹣2x﹣2﹣x恒成立，

因?yàn)椹?/span>2x﹣2﹣x＝﹣（2x+2﹣x）≤﹣2，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝2﹣x，即x＝0時(shí)取等號(hào)，所以k＞﹣2.

（2），令，則，

當(dāng)k＞1時(shí)，無(wú)最小值，舍去；

當(dāng)k＝1時(shí)，y＝1，最小值不是﹣3，舍去；

當(dāng)k＜1時(shí)，，最小值為，解得.

綜上所述，k＝﹣11．

（3）由題意，f（x1）+f（x2）＞f（x3）對(duì)任意x1，x2，x3∈R恒成立．

當(dāng)k＞1時(shí)，因，且，故，即1＜k≤4；

當(dāng)k＝1時(shí)，f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝1，滿足條件；

當(dāng)k＜1時(shí)，，且，故，解得；

綜上所述，