Question

19．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD的中心為O，E為BC的中點，如圖
  （1）求證：B₁O∥平面A₁C₁D； 
  （2）求證：BD₁∥平面C₁DE； 
  （3）求證：平面A₁C₁D∥平面B₁CO．

Answer 1

分析 （1）連接B₁D₁與A₁C₁交于O₁，連接O₁D．可得O₁B₁∥DO．O₁B₁=DO，從而可證B₁O∥O₁D．即可判定B₁O∥平面A₁C₁D．
（2）連接CD₁與C₁D交于F，連接EF，可證EF∥BD₁，即可證明BD₁∥平面C₁DE．
（3）連接AB₁，可得四邊形A₁B₁CD為平行四邊形，可證B₁C∥A₁D．同理可證：AC∥A₁C₁．即可證明平面A₁C₁D∥平面AB₁C，即證明平面A₁C₁D∥平面B₁CO．

解答
證明：（1）如圖（1），連接B₁D₁與A₁C₁交于O₁，連接O₁D．
可得在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，O₁B₁與DO共面，
∴O₁B₁∥DO．
∵O為底面ABCD的中心，
∴O₁B₁=DO，
∴四邊形O₁B₁OD為平行四邊形，
∴B₁O∥O₁D．
∵B₁O?平面A₁C₁D，O₁D?平面A₁C₁D，
∴B₁O∥平面A₁C₁D．
（2）證明：如圖（2），連接CD₁與C₁D交于F，連接EF．
可得在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，F(xiàn)為CD₁的中點，又E為BC中點，
∴EF為△CD₁B的中位線，
∴EF∥BD₁，
∵BD₁?平面C₁DE，EF?平面C₁DE，
∴BD₁∥平面C₁DE．
（3）證明：如圖（3），連接AB₁，
可得在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，A₁B₁∥DC，且A₁B₁=DC，
∴四邊形A₁B₁CD為平行四邊形，
∴B₁C∥A₁D．同理可證：AC∥A₁C₁．
又AC∩B₁C=C，A₁C₁∩A₁D=A，
∴平面A₁C₁D∥平面AB₁C，即平面A₁C₁D∥平面B₁CO．

點評 本題主要考查了直線與平面平行的判定，平面與平面平行的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于基本知識的考查．