Question

3．已知橢圓$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1，若點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，GH是圓（x+1）²+y²=1的直徑，試求$\overrightarrow{PG}$•$\overrightarrow{PH}$的最大值．

Answer 1

分析 設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），由GH是圓的直徑，則OG⊥OH，即為x₁x₂+y₁y₂=0．設(shè)P（x₃，y₃），求得向量PG，PH的坐標(biāo)，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示化簡(jiǎn)整理，結(jié)合P在橢圓上，可得$\frac{1}{4}$x₃²+2x₃+3，配方，再由橢圓的范圍，即可得到最大值．

解答 解：由題意，圓過(guò)原點(diǎn)，設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
∵GH是圓的直徑，
∴OG⊥OH，即為x₁x₂+y₁y₂=0．
設(shè)P（x₃，y₃），
則$\overrightarrow{PG}$=（x₁-x₃，y₁-y₃），$\overrightarrow{PH}$=（x₂-x₃，y₂-y₃），
∴$\overrightarrow{PG}$•$\overrightarrow{PH}$=x₁x₂+y₁y₂-x₃（x₁+x₂）-y₃（y₁+y₂）+x₃²+y₃²；
又GH的中心是（-1，0），
∴x₁+x₂=-2，y₁+y₂=0，而$\frac{{{x}_{3}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{3}}^{2}}{3}$=1，
∴y₃²=3-$\frac{3}{4}$x₃²，
∴$\overrightarrow{PG}$•$\overrightarrow{PH}$=$\frac{1}{4}$x₃²+2x₃+3=$\frac{1}{4}$（x₃+4）²-1，
又∵-2≤x₃≤2，
∴當(dāng)x₃=2時(shí)，$\overrightarrow{PG}$•$\overrightarrow{PH}$取得最大，并且最大值為8．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握?qǐng)A錐曲線的定義和性質(zhì)、向量的數(shù)量積、直線與圓錐曲線的相交問(wèn)題及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．本題需要較強(qiáng)的計(jì)算能力，注意分類(lèi)討論的思想方法應(yīng)用．