Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）證明：當(dāng)時，函數(shù)有三個零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）求出函數(shù)的解析式，求導(dǎo)，分、及解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）易知函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的零點(diǎn)，結(jié)合（1）的結(jié)論以及零點(diǎn)存在性定理即可得證．

（1），

.

①當(dāng)時，，

當(dāng)時，，當(dāng)時，.

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；

②當(dāng)時，，，則函數(shù)在上為增函數(shù)；

③當(dāng)時，，

當(dāng)，，當(dāng)，.

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；

綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；

當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（2），函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的零點(diǎn)，

當(dāng)時，由（1）知函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，

因為，，

令，

則，

，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

，

所以，存在，使得，

所以，函數(shù)在上有個零點(diǎn)；

當(dāng)，為減函數(shù)，極小值點(diǎn)，且，

所以，函數(shù)在有個零點(diǎn)；

當(dāng)，函數(shù)為增函數(shù)，

，，

存在，使得，所以函數(shù)在有1個零點(diǎn).

綜上，當(dāng)時，函數(shù)有三個零點(diǎn)，即函數(shù)有三個零點(diǎn).