Question

如圖，P是平面ABCD外一點，四 邊形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中點，（1）求證平面PDC⊥平面PAD；
（2）求二面角E-AC-D所成平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）可利用PA⊥平面ABCD，證明CD⊥面PAD，從而可證面PDC⊥面PAD；
（2）設H為AD的中點，連EH，則EH∥PA，由PA⊥平面ABCD知EH⊥面ACD，過H作HO⊥AC于O，連EO則EO⊥AC，則∠EOH即為所求．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形
∴CD⊥AD
∵PA⊥平面ABCD
∴CD⊥PA
∵AD與PA是相交直線
∴CD⊥面PAD
∵CD?面PAD
∴面PDC⊥面PAD

（2）設H為AD的中點，連EH，則EH∥PA，由PA⊥平面ABCD知EH⊥面ACD
過H作HO⊥AC于O，連EO則EO⊥AC∴∠EOH即為所求

在Rt△EHO中   而后OH=

2

5

∴OE=

3

5

∴∴cos∠EOH=

2

3

點評：本題以線面垂直為載體，考查面面垂直，考查面面角，關鍵是正確運用面面垂直的判定定理．