Question

已知長(zhǎng)為m（m＞0）的線段P₁P₂兩端點(diǎn)上在y²=4x上移動(dòng)．
（1）求P₁P₂中點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）求M點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的最小值及對(duì)應(yīng)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)P₁（t₁²，2t₁），P₂（t₂²，2t₂），P₁P₂中點(diǎn)為M（x，y），利用，y=t₁+t₂，|P₁P₂|=m，消去t₁，t₂ 即可得到中點(diǎn)的軌跡方程．
（2）通過(guò)中點(diǎn)軌跡方程，m≥4，m＜4，求出M點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的最小值及對(duì)應(yīng)點(diǎn)M的坐標(biāo)．
解答：解：（1）設(shè)P₁（t₁²，2t₁），P₂（t₂²，2t₂），P₁P₂中點(diǎn)為M（x，y），則
…①y=t₁+t₂…②
而|P₁P₂|=m∴（t₁²-t₂²）²+（2t₁-2t₂）²=m²…③
由①，②，③（4x-y²）（y²+4）=m²…④
這就是P₁P₂中點(diǎn)的軌跡方程．
（2）由④：．
∵y²+4∈[4，+∞）
當(dāng)m≥4時(shí)，時(shí)，
取“=”號(hào)．此時(shí)：．M點(diǎn)的坐標(biāo)為．
當(dāng)m＜4時(shí)，由
∵0＜m＜4∴
此時(shí)，
∴當(dāng)m≥4時(shí)，M到y(tǒng)軸距離最小值為，M點(diǎn)坐標(biāo)為．
當(dāng)0＜m＜4時(shí)，M到y(tǒng)軸距離最小值為
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查曲線的軌跡方程的求法，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)最值的求法．