Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin2x-cos2x（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在銳角三角形ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，若f（A）=2，c=3，△ABC的面積為3

3

，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（2x-

π

6

），令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間．
（Ⅱ）根據(jù) f（A）=2=2sin（2A-

π

6

）=2，求得A的值，再由S_△ABC=

1

2

bc•sinA=3

3

解得b的值，從而利用余弦定理得a的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

），
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈z．
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
（Ⅱ）∵f（x）=2sin（2x-

π

6

），∴f（A）=2=2sin（2A-

π

6

）．
∵0＜A＜

π

2

，∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

5π

6

，∴2A-

π

6

=

π

2

，∴A=

π

3

． 
由S_△ABC=

1

2

bc•sinA=3

3

 解得b=4．
由余弦定理得 a²=b²+c²-2bc•cosA=16+9-24×

1

2

=13，
∴a=

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，兩角和差的正弦公式，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，余弦定理，屬于中檔題．