【題目】設是圓上的任意一點，是過點且與軸垂直的直線，是直線與軸的交點，點在直線上，且滿足.當點在圓上運動時，記點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）已知直線與曲線交于，兩點，點關于軸的對稱點為，證明：直線過定點.

【答案】（1）（2）見證明

【解析】

（1）點A在圓x2+y2＝16上運動，引起點Q的運動，可由4|BQ|＝3|BA|，得到點A和點Q坐標之間的關系式，由點A的坐標滿足圓的方程得到點Q坐標滿足的方程；（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），則M′（﹣x1，y1），將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達定理，求出直線M′N的方程，即可判斷出所過的定點.

（1）設，，因為，在直線上，

所以，.①

因為點在圓上運動，所以.②

將①式代入②式即得曲線的方程為.

（2）設，，則，

聯(lián)立，得，

所以，.

因為直線的斜率，

所以為.

令，得 ，

所以直線過定點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓上一點關于原點的對稱點為，為其右焦點，若，設，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是( )

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再把圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到的圖象，則關于的圖象，下列結論不正確的是

A. 周期為 B. 關于點對稱

C. 在單調(diào)遞增 D. 在單調(diào)遞減

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【題目】設橢圓的離心率是，A、B分別為橢圓的左頂點、上頂點，原點O到AB所在直線的距離為.

（I）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知直線與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的端點），，垂足為H，且，求證：直線恒過定點.

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【題目】選修4-5：不等式選講:已知函數(shù)，a為實數(shù).

（I）當a=1時，求不等式的解集；

（II）求的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關.如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率，；

（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為(單位:元)，當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出的所有可能值，并估計大于零的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時期，我市教育局提出“停課不停學”的口號，鼓勵學生線上學習.某校數(shù)學教師為了調(diào)查高三學生數(shù)學成績與線上學習時間之間的相關關系，在高三年級中隨機選取名學生進行跟蹤問卷，其中每周線上學習數(shù)學時間不少于小時的有人，在這人中分數(shù)不足分的有人；在每周線上學習數(shù)學時間不足于小時的人中，在檢測考試中數(shù)學平均成績不足分的占.

（1）請完成列聯(lián)表；并判斷是否有的把握認為“高三學生的數(shù)學成績與學生線上學習時間有關”；

分數(shù)不少于分

分數(shù)不足分

合計

線上學習時間不少于小時

線上學習時間不足小時

合計

（2）在上述樣本中從分數(shù)不足于分的學生中，按照分層抽樣的方法，抽到線上學習時間不少于小時和線上學習時間不足小時的學生共名，若在這名學生中隨機抽取人，求這人每周線上學習時間都不足小時的概率.（臨界值表僅供參考）

（參考公式，其中）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】拿破侖為人好學，是法蘭西科學院院士，他對數(shù)學方面很感興趣，在行軍打仗的空閑時間，經(jīng)常研究平面幾何。他提出了著名的拿破侖定理：以三角形各邊為邊分別向外（內(nèi)）側作等邊三角形，則它們的中心構成一個等邊三角形。如圖所示，以等邊的三條邊為邊，向外作個正三角形，取它們的中心，順次連接，得到，圖中陰影部分為與的公共部分。若往中投擲一點，則該點落在陰影部分內(nèi)的概率為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中，參考的文科生與理科生人數(shù)之比為，且成績分布在的范圍內(nèi)，規(guī)定分數(shù)在50以上（含50）的作文被評為“優(yōu)秀作文”，按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖，如圖所示.其中構成以2為公比的等比數(shù)列.

（1）求的值；

（2）填寫下面列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下認為“獲得優(yōu)秀作文”與“學生的文理科”有關？

文科生

理科生

合計

獲獎

6

不獲獎

合計

400

（3）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市參考學生中，任意抽取2名學生，記“獲得優(yōu)秀作文”的學生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.

附：，其中.

.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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