Question

【題目】2019年12月以來(lái)，湖北武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，并迅速在全國(guó)范圍內(nèi)開(kāi)始傳播，專(zhuān)家組認(rèn)為，本次病毒性肺炎病例的病原體初步判定為新型冠狀病毒，該病毒存在人與人之間的傳染，可以通過(guò)與患者的密切接觸進(jìn)行傳染.我們把與患者有過(guò)密切接觸的人群稱(chēng)為密切接觸者，每位密切接觸者被感染后即被稱(chēng)為患者.已知每位密切接觸者在接觸一個(gè)患者后被感染的概率為，某位患者在隔離之前，每天有位密切接觸者，其中被感染的人數(shù)為，假設(shè)每位密切接觸者不再接觸其他患者.

（1）求一天內(nèi)被感染人數(shù)為的概率與、的關(guān)系式和的數(shù)學(xué)期望；

（2）該病毒在進(jìn)入人體后有14天的潛伏期，在這14天的潛伏期內(nèi)患者無(wú)任何癥狀，為病毒傳播的最佳時(shí)間，設(shè)每位患者在被感染后的第二天又有位密切接觸者，從某一名患者被感染，按第1天算起，第天新增患者的數(shù)學(xué)期望記為.

（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列為等比數(shù)列；

（ii）若戴口罩能降低每位密切接觸者患病概率，降低后的患病概率，當(dāng)取最大值時(shí)，計(jì)算此時(shí)所對(duì)應(yīng)的值和此時(shí)對(duì)應(yīng)的值，根據(jù)計(jì)算結(jié)果說(shuō)明戴口罩的必要性.（取）

（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）

Answer 1

【答案】（1）；.

（2）（i），證明見(jiàn)解析；（ii）16，6480，戴口罩很有必要.

【解析】

（1）由題意，被感染人數(shù)服從二項(xiàng)分布：，則可求出概率及數(shù)學(xué)期望；

（2）（i）根據(jù)第天被感染人數(shù)為，及第天被感染人數(shù)為，

作差可得可得，，可證，（ii）利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算此時(shí)所對(duì)應(yīng)的值和此時(shí)對(duì)應(yīng)的值，根據(jù)計(jì)算結(jié)果說(shuō)明戴口罩的必要性.

（1）由題意，被感染人數(shù)服從二項(xiàng)分布：，

則,，

的數(shù)學(xué)期望.

（2）（i）第天被感染人數(shù)為，

第天被感染人數(shù)為，

由題目中均值的定義可知，

則，且.

是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.

（ii）令，

則.

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

.

則當(dāng)，.

.

.

戴口罩很有必要.