Question

20．已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1有且只有一個零點(diǎn)x₀，且x₀＜0，則實(shí)數(shù)a的范圍為（2，+∞）．

Answer 1

分析 （i）當(dāng)a=0時，f（x）=-3x²+1，令f（x）=0，解得x=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，舍去．
（ii）當(dāng)a≠0時，f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-$\frac{2}{a}$），令f′（x）=0，解得x=0或$\frac{2}{a}$．對a分類討論：①當(dāng)a＜0時，不滿足條件；②當(dāng)a＞0時，由題意可得f（x）_min=f（$\frac{2}{a}$）＞0，解得答案．

解答 解：（i）當(dāng)a=0時，f（x）=-3x²+1，令f（x）=0，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，函數(shù)f（x）有兩個零點(diǎn)，舍去．
（ii）當(dāng)a≠0時，f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-$\frac{2}{a}$），令f′（x）=0，解得x=0或$\frac{2}{a}$．
①當(dāng)a＜0時，$\frac{2}{a}$＜0，
當(dāng)x＜$\frac{2}{a}$或x＞0時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)$\frac{2}{a}$＜x＜0時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴$\frac{2}{a}$是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，0是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)．
由f（0）=1，可得函數(shù)存在正零點(diǎn)，不滿足條件；
②當(dāng)a＞0時，$\frac{2}{a}$＞0，
當(dāng)x＞$\frac{2}{a}$或x＜0時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜x＜$\frac{2}{a}$時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴$\frac{2}{a}$是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，0是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)．
∵函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1存在唯一的零點(diǎn)x₀，且x₀＜0，則f（$\frac{2}{a}$）＞0，
即$\frac{8}{{a}^{2}}$-$\frac{12}{{a}^{2}}$+1＞0，a＞0，解得a＞2．
綜上可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2，+∞）．
故答案為：（2，+∞）

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、函數(shù)的零點(diǎn)，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．