Question

【題目】已知函數(shù)．

(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(2)若是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）.

【解析】試題分析：（1）求得的導(dǎo)數(shù)，由求得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得所求切線的方程；（2）由題意可得在恒成立，由時(shí)，遞增，可得值域?yàn)?/span>，運(yùn)用分離參數(shù)，求得右邊函數(shù)的最小值，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到所求范圍.

試題解析：(1)f(x)＝4x－的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝4＋，可得在點(diǎn)(2，f(2))處的切線斜率為k＝4＋1＝5，切點(diǎn)為(2,6)，可得切線的方程為y－6＝5(x－2)，即為y＝5x－4．

(2)x∈(1, ]時(shí)，不等式f(x)－g(x)＜3恒成立，即為m＜3ln x＋3在(1， ]恒成立， 由1＜x≤時(shí)，3ln x＋3∈，x－遞增，可得值域?yàn)?/span>，即有m＜的最小值，

由的導(dǎo)數(shù)為，

可得1＜x≤時(shí)，h′(x)＜0，h(x)遞減，可得x＝時(shí)，h(x)取得最小值，且為．

可得m＜．則m的范圍是．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式恒成立問(wèn)題，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn) 出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí)，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.