Question

（本小題滿分12分）已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．

（1）用表示，并求的最大值；

（2）求證：（）．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）設與在公共點處的切線相同．

，，由題意，．

即由

得：，或（舍去）．        

即有．

令，則．于是

當，即時，；

當，即時，．

故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，

于是在的最大值為．（2）

設，

則．

故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

于是函數(shù)在上的最小值是．

故當時，有，即當時，

19.經(jīng)檢驗,以上所得橢圓的四個頂點無法取到,

故交點軌跡E的方程為

（2）設，則由知，.

將代入得，

即，

若與橢圓相切,則，即;

同理若與橢圓相切,則.

由與與軌跡E都只有一個交點包含以下四種情況:

[1]直線與都與橢圓相切,即,且,消去得，即，

從而，即;

[2]直線過點,而與橢圓相切,此時,解得;

[3]直線過點,而與橢圓相切,此時,解得;

[4] 直線過點,而直線過點,此時

綜上所述,h的值為

 

【解析】略