Question

在長方體中，為線段中點(diǎn)．

（1）求直線與直線所成的角的余弦值；
（2）若,求二面角的大小；
（3）在棱上是否存在一點(diǎn),使得平面？若存在，求的長；若不存在,說明理由．

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

試題分析：（1）以點(diǎn)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各點(diǎn)的坐標(biāo),從而可求出和的坐標(biāo),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030522721684.png" style="vertical-align:middle;" />,所以直線與直線所成的角為，其余弦值；（2）分別求出平面和平面的法向量，求出法向量所成的角，轉(zhuǎn)化為二面角的平面角；（3）假設(shè)在棱上存在一點(diǎn),使得平面,則，設(shè)，則垂直于平面的法向量，從而求出，即存在點(diǎn)，使平面．
試題解析：
（1）以點(diǎn)為原點(diǎn),分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則 ，
 ,
故即與所成角的余弦值為0 ．
(2) 連接,由長方體,得 ，
,,由(1)知,故平面. 所以是平面的法向量,而,
又，設(shè)平面的法向量為,則有,取,可得
則  ，所以二面角是 ．
(3) 假設(shè)在棱上存在一點(diǎn),使得平面,則，設(shè)，平面的法向量為則有,取,可得
要使平面,只要 ，
,又平面,
存在點(diǎn)使平面,此時.