Question

若橢圓+=1的焦點在x軸上，過點（1，）作圓x²+y²=1的切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方程是________．

Answer 1

分析：設(shè)過點（1，）的圓x²+y²=1的切線為l，根據(jù)直線的點斜式，結(jié)合討論可得直線l分別切圓x²+y²=1相切于點A（1，0）和B（0，2）．然后求出直線AB的方程，從而得到直線AB與x軸、y軸交點坐標，得到橢圓的右焦點和上頂點，最后根據(jù)橢圓的基本概念即可求出橢圓的方程．
解答：設(shè)過點（1，）的圓x²+y²=1的切線為l：y-=k（x-1），即kx-y-k+=0
①當直線l與x軸垂直時，k不存在，直線方程為x=1，恰好與圓x²+y²=1相切于點A（1，0）；
②當直線l與x軸不垂直時，原點到直線l的距離為：d==1，解之得k=-，
此時直線l的方程為y=-x+，l切圓x²+y²=1相切于點B（ ，）；
因此，直線AB斜率為k₁==-2，直線AB方程為y=-2（x-1）
∴直線AB交x軸交于點A（1，0），交y軸于點C（0，2）．
橢圓+=1的右焦點為（0，1），上頂點為（0，2）
∴c=1，b=2，可得a²=b²+c²=5，橢圓方程為
故答案為：．
點評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、橢圓中三參數(shù)的關(guān)系：a²=b²+c²．