Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：+=1．
（1）若橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若m=6，
①P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），求PM的最小值及對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②過橢圓C的右焦點(diǎn)F 作與坐標(biāo)軸不垂直的直線，交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線l交x軸于點(diǎn)N，證明： 是定值，并求出這個(gè)定值．

Answer 1

解：（1）由題意得，m＞8-m＞0，解得4＜m＜8，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是（4，8）；
（2）因?yàn)閙=6，所以橢圓C的方程為，
①設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），則，
因?yàn)辄c(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），
所以PM²=（x-1）²+y²===，，
所以當(dāng)x=時(shí)，PM的最小值為，此時(shí)對應(yīng)的點(diǎn)P坐標(biāo)為（）；
②由a²=6，b²=2，得c²=4，即c=2，
從而橢圓C的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0），右準(zhǔn)線方程為x=3，離心率e=，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)H（x₀，y₀），
則，，
兩式相減得，，即，
令k=k_AB，則線段AB的垂直平分線l的方程為y-y₀=-（x-x₀），
令y=0，則x_N=ky₀+x₀=，
因?yàn)镕（2，0），所以FN=|x_N-2|=，
因?yàn)锳B=AF+BF=e（3-x₁）+e（3-x₂）=|x₀-3|．
故==，即為定值．
分析：（1）由焦點(diǎn)在x軸上得，m＞8-m＞0，解出即可；
（2）①設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），則，由兩點(diǎn)間距離公式可表示出PM²，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得PM²的最小值，從而得到PM的最小值，注意x的取值范圍；②易求焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及右準(zhǔn)線方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)H（x₀，y₀），利用平方差法可用H坐標(biāo)表示直線AB的斜率，用點(diǎn)斜式寫出AB中垂線方程，從而得點(diǎn)N橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到線段FN的長，由第二定義可表示出線段AB長， 是定值可證；
點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解及橢圓的第二定義，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識分析解決問題的能力，屬中檔題．