Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=（1-a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式，并比較s_n與的大�。�
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，令b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），求數(shù)列的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)a_n=S_n-S_n-1，代入題設(shè)，整理得=進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，公比是，再根據(jù)S₁=a₁求得a₁，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得a_n，把a(bǔ)_n代入S_n=（1-a_n）中得（1-（）ⁿ），根據(jù)1-（）ⁿ＜1，答案可得．
（2）把a(bǔ)_n代入b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），化簡整理求得b_n，進(jìn)而可得，最后用裂項法求得T_n．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時，a_n=（1-a_n）-（1-a_n-1）=-a_n+a_n-1，
2a_n=-a_n+a_n-1，．∴=，由S₁=a₁=（1-a₁）得a₁=
∴數(shù)列{a_n}是首項a₁=公比為的等比數(shù)列
a_n=×（）^n-1=（）ⁿ．
由S_n=（1-a_n）=（1-（）ⁿ）
∵1-（）ⁿ＜1
∴（1-（）ⁿ）＜
∴s_n＜
（Ⅱ），
∴b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=（a₁a2_…a_n）
=（）^1+2+…n=．
∴==2（-）
∴T_n=2[（1-）+（-）+…+（-）]=．
點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列的遞推式．考查了用裂項法對數(shù)列進(jìn)行求和．