Question

從正方體的各表面對(duì)角線(xiàn)中隨機(jī)取兩條，這兩條表面對(duì)角線(xiàn)成的角的度數(shù)的數(shù)學(xué)期望為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：這兩條表面對(duì)角線(xiàn)成的角的度數(shù)ξ的可能取值為0°，60°，90°，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出這兩條表面對(duì)角線(xiàn)成的角的度數(shù)的數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：在正方體ABCD-A′B′C′D′中，
與上平面A′B′C′D′中一條對(duì)角線(xiàn)A′C′成60°的直線(xiàn)有BC′，B′C，
A′D，AD′，A′B，AB′，D′C，DC′共八對(duì)直線(xiàn)，
與上平面A′B′C′D′中另一條對(duì)角線(xiàn)成60°的直線(xiàn)也有八對(duì)直線(xiàn)，
所以一個(gè)平面中有16對(duì)直線(xiàn)，正方體6個(gè)面共有16×6對(duì)直線(xiàn)，
去掉重復(fù)，則有

16×6

2

=48對(duì)．
同理，對(duì)角線(xiàn)成90°的有24對(duì)直線(xiàn)，對(duì)角線(xiàn)成0°的有12對(duì)直線(xiàn)，
∴這兩條表面對(duì)角線(xiàn)成的角的度數(shù)ξ的可能取值為0°，60°，90°，
P（ξ=0°）=

12

12+24+48

=

1

7

，
P（ξ=60°）=

48

12+24+48

=

4

7

，
P（ξ=90°）=

24

12+24+48

=

2

7

，
∴Eξ=0°×

1

7

+60°×

4

7

+90°×

2

7

=60°．
故答案為：60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正方體結(jié)構(gòu)特征的合理運(yùn)用．