Question

已知函數f(x)=xn-

4

x

，且f（4）=3．
（1）判斷f（x）的奇偶性并說明理由；
（2）判斷f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調性，并證明你的結論；
（3）若對任意實數x₁，x₂∈[1，3]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤t成立，求t的最小值．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：（1）由f（4）=3可得n=1，于是f（x）=x-

4

x

，易求其定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）且f（-x）=-f（x），從而可判斷其奇偶性；
（2）任取0＜x₁＜x₂，作差后整理得：f（x₂）-f（x₁）=（x₂-x₁）（1+

4

x1•x2

），易判斷f（x₂）-f（x₁）＞0，于是知f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增；
（3）依題意只需t≥|f（x₁）-f（x₂）|_max，而≥|f（x₁）-f（x₂）|_max=f（x）_max-f（x）_min=f（3）-f（1），從而可得t的最小值．

解答： 解：（1）∵f（4）=4ⁿ-1=3即4ⁿ=4，
∴n=1，
∴f（x）=x-

4

x

，
∵函數定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）關于原點對稱，且f（-x）=-x+

4

x

=-（x-

4

x

）=-f（x），
∴f（x）是奇函數；                                 
（2）任取0＜x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）
=x₂-x₁-

4

x2

+

4

x1

=x₂-x₁+

4

x1•x2

（x₂-x₁）
=（x₂-x₁）（1+

4

x1•x2

），
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁•x₂＞0，
∴（x₂-x₁）（1+

4

x1•x2

）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增；                  
（3）依題意只需t≥|f（x₁）-f（x₂）|_max，
又|f（x₁）-f（x₂）|_max
=f（x）_max-f（x）_min
=f（3）-f（1）
=（3-

4

3

）-（1-4）
=

14

3

，
∴t≥

14

3

，
∴t_min=

14

3

．

點評：本題考查函數恒成立問題，著重考查函數的奇偶性與單調性的判定與應用，考查等價轉化思想與綜合運算能力，屬于難題．