Question

已知三棱錐P-ABC，∠PAC=∠ABC=90°，PA=AC=2BC，平面PAC⊥平面ABC，D、E分別是PB、PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角P-ED-A的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件推導(dǎo)出AP⊥平面ABC，從而得到AP⊥BC，由此能夠證明BC⊥平面PAB．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出∠PDA為A-DE-P所成的二面角，由此能求出A-DE-P所成的二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵平面PAC⊥平面ABC，∠PAC=90°，
∴AP⊥AC，∴AP⊥平面ABC，
∵BC?平面ABC，∴AP⊥BC，
∵AB⊥BC，AB∩BC=B，
∴BC⊥平面PAB．
（Ⅱ）∵E、D是PB、PC中點(diǎn)，∴DE∥BC，
∵BC⊥平面PAB，∴DE垂直平面PAB，
∴PD⊥DE，AD⊥DE，
∴∠PDA為A-DE-P所成的二面角，
∵EDP=90°，PE=2DE，∠DPE=30°，PD=

3

2

•PE，DE=

1

2

PE，
∠APE=90°，PC=PA，AE=2PE，AP=

3

PE，AD=

AE2-DE2

=

15

2

PE，
cos∠PDA=

PD2+AD2-PA2

2PD•AD

=

( 3 2 PE)2+( 15 2 PE)2-(2PE)2

2× 3 2 PE× 15 2 PE

=

5

15

．    
∴A-DE-P所成的二面角的余弦值為

5

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)，注意合理地化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題．