Question

(13分)一個同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植綠色灌木，周圍的圓環(huán)分為n(n≥3，n∈N)等份，種植紅、黃、藍三色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花.

⑴ 如圖1，圓環(huán)分成的3等份為a₁，a₂，a₃，有多少不同的種植方法？

如圖2，圓環(huán)分成的4等份為a₁，a₂，a₃，a₄，有多少不同的種植方法？

⑵ 如圖3，圓環(huán)分成的n等份為a₁，a₂，a₃，……，a_n，有多少不同的種植方法？

  

 

 

Answer 1

【答案】

)⑴如圖1，先對a₁部分種植，有3種不同的種法，再對a₂、a₃種植，

因為a₂、a₃與a₁不同顏色，a₂、a₃也不同。 所以S（3）=3×2=6（種）。

如圖2，S（4）=3×2×2×2－S（3）=18（種）。

⑵

【解析】本試題主要考查了排列組合的運用，解決實際問題，同時也考查了數(shù)列的求和的運用，數(shù)列的概念的綜合試題。

（1）先對a₁部分種植，有3種不同的種法，再對a₂、a₃種植，

因為a₂、a₃與a₁不同顏色，a₂、a₃也不同。 所以S（3）=3×2=6（種）。………3分

如圖2，S（4）=3×2×2×2－S（3）=18（種）

（2）圓環(huán)分為n等份，對a₁有3種不同的種法，對a₂、a₃、…、a_n都有兩種不同的種法，但這樣的種法只能保證a₁與a_i（i=2、3、……、n－1）不同顏色，但不能保證a₁與a_n不同顏色.

于是一類是a_n與a₁不同色的種法，這是符合要求的種法，記為種. 另一類是a_n與a₁同色的種法，這時可以把a_n與a₁看成一部分，這樣的種法相當于對n－1部分符合要求的種法，記為.共有3×2^n－1種種法

因此可得到，進而分析求解。

)⑴如圖1，先對a₁部分種植，有3種不同的種法，再對a₂、a₃種植，

因為a₂、a₃與a₁不同顏色，a₂、a₃也不同。 所以S（3）=3×2=6（種）。………3分

如圖2，S（4）=3×2×2×2－S（3）=18（種）�！�……………………………………6分

⑵如圖3，圓環(huán)分為n等份，對a₁有3種不同的種法，對a₂、a₃、…、a_n都有兩種不同的種法，但這樣的種法只能保證a₁與a_i（i=2、3、……、n－1）不同顏色，但不能保證a₁與a_n不同顏色.

于是一類是a_n與a₁不同色的種法，這是符合要求的種法，記為種. 另一類是a_n與a₁同色的種法，這時可以把a_n與a₁看成一部分，這樣的種法相當于對n－1部分符合要求的種法，記為.

共有3×2^n－1種種法.………………………………………………………………9分

這樣就有.即，

則數(shù)列是首項為公比為－1的等比數(shù)列.……………10分

則

由⑴知：，∴.

∴.………………………………………………………12分

答：符合要求的不同種法有……………………………13分