Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+3）e^x（x∈R）在x=2處的切線的斜率為2e²．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式并求單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=

f′(x)

ex

，其中x∈[-2，m），問(wèn)：對(duì)于任意的m＞-2，方程g（x）=

2

3

(m-1)2在區(qū)間（-2，m）上是否存在實(shí)數(shù)根？若存在，請(qǐng)確定實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）=（x²+ax+3）e^x（x∈R）在x=2處的切線的斜率為2e²，求出a的值，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）假設(shè)方程g（x）=

2

3

（m-1）²在區(qū)間（-2，m）上存在實(shí)數(shù)根．設(shè)x₀是方程g（x）=

2

3

（m-1）²的實(shí)根，x02-x0=

2

3

（m-1）²，令h（x）=x²-x-

2

3

（m-1）²，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明方程h（x）=x²-x-

2

3

（m-1）²=0在（-2，m）上有實(shí)根，并討論解的個(gè)數(shù)．

解答： 解：（1）由已知得f'（x）=[x²+（a+2）x+（a+3）]e^x…（1分）
所以f'（2）=2e²=（11+3a）e²
故a=-3，即f（x）=（x²-3x+3）e^x．  …（3分）
由f′（x）=（x²-x）e^x＞0得x＜0或x＞1；
由f′（x）＜0，可得0＜x＜1．
故f（x）單調(diào)增區(qū)間是（-∞，0），（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（0，1）…（5分）．
（2）假設(shè)方程g（x）=

2

3

（m-1）²在區(qū)間（-2，m）上存在實(shí)數(shù)根
設(shè)x₀是方程g（x）=

2

3

（m-1）²的實(shí)根，x02-x0=

2

3

（m-1）²，
令h（x）=x²-x-

2

3

（m-1）²，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明方程h（x）=x²-x-

2

3

（m-1）²=0在（-2，m）上有實(shí)根，并討論解的個(gè)數(shù)…（7分）
因?yàn)閔（-2）=6-

2

3

（m-1）²=-

2

3

（m+2）（m-4），h（m）=m（m-1）-

2

3

（m-1）²=

1

3

（m+2）（m-1），
所以
①當(dāng)m＞4或-2＜m＜1時(shí)，h（-2）h（m）＜0，所以h（x）=0在（-2，m）上有解，且只有一解
②當(dāng)1＜m＜4時(shí)，h（-2）＞0且h（m）＞0，但由于h（0）=-

2

3

（m-1）²＜0，
所以h（x）=0在（-2，m）上有解，且有兩解 …（10分）
③當(dāng)m=1時(shí)，h（x）=x²-x=0，所以x=0或x=1，所以h（x）=0在（-2，m）上有且只有一解；
當(dāng)m=4時(shí)，h（x）=x²-x-6=0，所以x=-2或x=3，
所以h（x）=0在（-2，4）上也有且只有一解…（12分）
綜上所述，對(duì)于任意的m＞-2，方程g（x）=

2

3

（m-1）²在區(qū)間（-2，m）上均有實(shí)數(shù)根
且當(dāng)m≥4或-2＜m≤1時(shí)，有唯一的實(shí)數(shù)解；當(dāng)1＜m＜4時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)解…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，正確分類是關(guān)鍵．