已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)在x＝－1處取得極值，直線y＝m與y＝f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍．


解　(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．

當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)x∈R，有f′(x)>0，

∴當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，＋∞)．

當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)>0，解得x<－或x>；

由f′(x)<0，解得－<x<，

∴當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－)，

(，＋∞)，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(－，)．

(2)∵f(x)在x＝－1處取得極值，

∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.

∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.

由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.

由(1)中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x＝－1處取得極大值f(－1)＝1，在x＝1處取得極小值f (1)＝－3.∵直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，∴結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知，m的取值范圍是(－3,1)．

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