Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，設M是底面ABC內(nèi)一點，定義f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分別是點M到面PAB、面PBC、面PAC的距離．已知PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=2，PB=2，PC=3．若f（M）=（

9

4

，x，y），則使

1

x

+

a

y

≥8恒成立的正實數(shù)a的最小值為

 

．

Answer 1

考點：二維形式的柯西不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：先根據(jù)三棱錐的特點求出其體積，然后利用基本不等式求出

1

x

+

a

y

的最小值，建立關于a的不等關系，解之即可求得正實數(shù)a的最小值．

解答： 解：∵PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=2，PC=3，∴V_P-ABC=

1

3

•（

1

2

•PA•PB）•PC=

1

3

（

1

2

•PA•PB）•m+

1

3

（

1

2

PB•PC）•n+

1

3

（

1

2

PA•PC）•p，
即

1

3

•（

1

2

×2×2）×3=

1

3

（

1

2

×2×2）×

9

4

+

1

3

（

1

2

×2×3）x+

1

3

（

1

2

×2×3）y，
化簡可得2x+2y=1．
故有

1

x

+

a

y

=（2x+2y）（

1

x

+

a

y

）=2+2a+

2ax

y

+

2y

x

≥2+2a+2

4a

≥8，即a+2

a

-3≥0，當且僅當

2ax

y

=

2y

x

 時，取等號．
求得

a

≥1，或

a

≤-3（舍去），∴a≥1，
即使

1

x

+

a

y

≥8恒成立的正實數(shù)a的最小值為1，
故答案為：1．

點評：本題主要考查了棱錐的體積，同時考查了基本不等式的運用，是題意新穎的一道題目，屬于基礎題．