Question

(本小題滿分12分）

設(shè)點到直線的距離與它到定點的距離之比為，并記點的軌跡為曲線．

（Ⅰ）求曲線的方程;

（Ⅱ）設(shè)，過點的直線與曲線相交于兩點，當(dāng)線段的中點落在由四點構(gòu)成的四邊形內(nèi)（包括邊界）時，求直線斜率的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）有題意，     ………………2分

整理得，所以曲線的方程為………………4分

（Ⅱ）顯然直線的斜率存在，所以可設(shè)直線的方程為.

設(shè)點的坐標(biāo)分別為

線段的中點為，

由

得

由解得．…(1) …………7分

由韋達定理得，于是

=，   ……………8分

因為，所以點不可能在軸的右邊，

又直線,方程分別為

所以點在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為

 即 亦即 ………………10分

解得，……………(2)  

由（1）（2）知，直線斜率的取值范圍是………………12分

考點：本題考查了圓錐曲線方程的求法及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

點評：橢圓的概念和性質(zhì)，仍將是今后命題的熱點，定值、最值、范圍問題將有所加強；利用直線、弦長、圓錐曲線三者的關(guān)系組成的各類試題是解析幾何中長盛不衰的主題，其中求解與相交弦有關(guān)的綜合題仍是今后命題的重點；與其它知識的交匯(如向量、不等式)命題將是今后高考命題的一個新的重點、熱點.