Question

設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足條件

1≤lgxy2≤2 -1≤lg x2 y ≤2

，則lg

x3

y4

的最大值為

 

．

Answer 1

分析：要求 lg

x3

y4

的范圍，可先將 lg

x3

y4

用 lgxy²和 lg

x2

y

表示，再根據(jù)

1≤lgxy2≤2 -1≤lg x2 y ≤2

結(jié)合不等式的性質(zhì)解決問(wèn)題

解答：解：令  lg

x3

y4

=a lgxy²+b lg

x2

y

，
即 2lgx-

1

3

lgy=a(lgx-lgy)+b(2lgx-

1

2

lgy)
即

2=a+2b 1 3 =a+ 1 2 b

解得

a=1 b= 1 2

∴lg

x3

y4

=lgxy²+

1

2

lg

x2

y

，
∵

1≤lgxy2≤2 -1≤lg x2 y ≤2

∴lg

x3

y4

的最大值為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：由a＜f₁（x₁，y₁）＜b，c＜f₂（x₁，y₁）＜d，求g（x₁，y₁）的取值范圍，可利用待定系數(shù)法解決，即設(shè)g（x₁，y₁）=pf₁（x₁，y₁）+qf₂（x₁，y₁），用恒等變形求得p，q，再利用不等式的性質(zhì)求得 g（x₁，y₁）的范圍．此外，本例也可用線性規(guī)劃的方法來(lái)求解．