Question

攀枝花市歡樂陽光節(jié)是攀枝花市的一次向外界展示攀枝花的盛會，為了搞好接待工作，組委會在某大學(xué)招募了10名男志愿者和5名女志愿者（分成甲乙兩組），招募時(shí)志愿者的個(gè)人綜合素質(zhì)測評成績?nèi)鐖D所示．
（Ⅰ）問男志愿者和女志愿者的平均個(gè)人綜合素質(zhì)測評成績哪個(gè)更高？
（Ⅱ）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從甲乙兩組中共抽取3名志愿者負(fù)責(zé)接
待外賓，要求3人中至少有一名志愿者個(gè)人綜合素質(zhì)測評為優(yōu)秀（成績
在80分以上為優(yōu)秀）的概率；
（Ⅲ）抽樣方法同（Ⅱ），記X表示抽取的3名志愿者的個(gè)人綜合素質(zhì)測評為優(yōu)秀的數(shù)目，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,莖葉圖,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由莖葉圖分別求出男志愿者和女志愿者的平均個(gè)人綜合素質(zhì)測評成績的平均數(shù)，得到女志愿者的平均個(gè)人綜合素質(zhì)測評成績更高．
（Ⅱ）由題意，抽取比例為

3

15

，所以在男志愿者中抽2名，女志愿者中抽1名．由此利用對立事件的概率公式能求出至少1名成績優(yōu)秀的概率．
（Ⅲ）X的可能取值是0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）

.

x甲

=

1

10

(63+67+68+72+82+84+84+95+90+95)=80

.

x乙

=

1

5

(66+76+79+89+95)=81，
∵

.

x甲

＜

.

x乙

，
∴女志愿者的平均個(gè)人綜合素質(zhì)測評成績更高．
（Ⅱ）由題意，抽取比例為

3

15

，
∴在男志愿者中抽2名，女志愿者中抽1名．
設(shè)至少1名成績優(yōu)秀的事件為A，則成績都不優(yōu)秀的事件為

.

A

，有
∵P(

.

A

)=

C 2 4 • C 1 3

C 2 10 • C 1 5

=

18

225

=

2

25

，∴P(A)=1-

2

25

=

23

25

．
（Ⅲ）X的可能取值是0，1，2，3，
P(X=0)=

2

25

，
P(X=1)=

C 1 6 • C 1 4 • C 1 3 + C 2 4 • C 1 2

C 2 10 • C 1 5

=

84

225

=

28

75

，
P(X=2)=

C 1 6 • C 1 4 • C 1 2 + C 2 6 • C 1 3

C 2 10 • C 1 5

=

93

225

=

31

75

，
P(X=3)=

C 2 6 • C 1 2

C 2 10 • C 1 5

=

30

225

=

10

75

，
X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	2 25	28 75	31 75	10 75

數(shù)學(xué)期望為E(X)=1×

28

75

+2×

31

75

+3×

10

75

=

24

15

=1.6．

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意莖葉圖的靈活運(yùn)用．