Question

已知三次函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1和x=-1時(shí)取極值，且f（-2）=-4．
（1）求函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)，由題意可得

f′(1)=3+2a+b=0 f′(-1)=3-2a+b=0 f(-2)=-8+4a-2b+c=-4

，從而解出參數(shù)，進(jìn)而得到函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式；
（2）由（1）知，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），根據(jù)f′（x）的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性與極值．

解答： 解：（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f′（x）=3x²+2ax+b；
則由題意可得，

f′(1)=3+2a+b=0 f′(-1)=3-2a+b=0 f(-2)=-8+4a-2b+c=-4

，
解得，a=0，b=-3，c=-2，
故f（x）=x³-3x-2，
（2）由（1）知，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
則當(dāng)x∈（-∞，-1]∪[1，+∞）時(shí)，f′（x）≥0；
當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f′（x）≤0；
則函數(shù)y=f（x）的增區(qū)間：（-∞，-1]，[1，+∞）；減區(qū)間：[-1，1]．
則f（x）的極大值為f（-1）=0，
f（x）的極小值為f（1）=-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．