已知定點(diǎn)Q(6，0)和拋物線y2=8x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)，其中A、B的橫坐標(biāo)x1、x2滿足x1≠x2，且x1+x2=4．

(1)證明線段AB的垂直平分線過定點(diǎn)Q；

(2)當(dāng)A、B兩點(diǎn)的距離為何值時(shí)，△AQB的面積最大？

答案：
解析：

解：(1)設(shè)線段AB的中點(diǎn)為

則

線段AB的垂直平分線的方程為

①

為方程①的一個(gè)解，

即以(6，0)為坐標(biāo)的點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，

∴線段AB的垂直平分線過定點(diǎn)Q(6，0)．

(2)由(I)知，直線AB的方程為

由 消去x，得

②

依題意y1、y2為方程②的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且y1≠y2，

∴解得－4＜y0＜4．又

Q(6，0)到直線AB的距離

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

此時(shí)

故當(dāng)A、B兩點(diǎn)的距離為時(shí)，△AQB的面積最大．


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（1）若直線l過Q點(diǎn)且被圓C截得的線段長(zhǎng)為4
3
，求直線l的方程；
（2）求過Q點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)P的軌跡方程，并指出其軌跡是什么？

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