Question

（2012•資陽(yáng)二模）甲袋中裝有大小相同的紅球1個(gè)，白球2個(gè)；乙袋中裝有與甲袋中相同大小的紅球2個(gè)，白球3個(gè)．先從甲袋中取出1個(gè)球投入乙袋中，然后從乙袋中取出2個(gè)小球．
（Ⅰ）求從乙袋中取出的2個(gè)小球中僅有1個(gè)紅球的概率；
（Ⅱ）記從乙袋中取出的2個(gè)小球中白球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）記“乙袋中取出的2個(gè)小球中僅有1個(gè)紅球”為事件A，包含如下兩個(gè)事件：“從甲袋中取出1紅球投入乙袋，然后從乙袋取出的兩球中僅1個(gè)紅球”、“從甲袋中取出1白球投入乙袋，然后從乙袋取出的兩球中僅1個(gè)紅球”，分別記為事件A₁、A₂，由A₁與A₂互斥，能求出從乙袋中取出的2個(gè)小球中僅有1個(gè)紅球的概率．
（Ⅱ）由題意知ξ=0、1、2．分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（Ⅰ）記“乙袋中取出的2個(gè)小球中僅有1個(gè)紅球”為事件A，
包含如下兩個(gè)事件：“從甲袋中取出1紅球投入乙袋，然后從乙袋取出的兩球中僅1個(gè)紅球”、
“從甲袋中取出1白球投入乙袋，然后從乙袋取出的兩球中僅1個(gè)紅球”，
分別記為事件A₁、A₂，且A₁與A₂互斥，
則：P（A₁）=

1

3

×

C 1 3 C 1 3

C 2 6

=

1

5

，P（A₂）=

2

3

×

C 1 2 C 1 4

C 2 6

=

16

45

，（4分）
∴P（A）=

1

5

+

16

45

=

5

9

，
故從乙袋中取出的2個(gè)小球中僅有1個(gè)紅球的概率為

5

9

．（6分）
（Ⅱ）由題意知ξ=0、1、2．
P（ξ=0）=

1

3

×

C 2 3

C 2 6

+

2

3

×

C 2 2

C 2 6

=

1

9

，
P（ξ=1）=

1

3

×

C 1 3 C 1 3

C 2 6

+

2

3

×

C 1 2 C 1 4

C 2 6

=

5

9

，
P（ξ=2）=

1

3

×

C 2 3

C 2 6

+

2

3

×

C 1 4

C 2 6

=

1

3

，（答對(duì)一個(gè)得1分）（9分）
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	1 9	5 9	1 3

∴Eξ=0×

1

9

+1×

5

9

+2×

1

3

=

11

9

．（分布列（1分），方差（2分）；分布列部分對(duì)給1分）（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望，是歷年高考的必考題型之一．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)和概率知識(shí)的靈活運(yùn)用．