Question

橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，F1(-c，0)，F2(c，0)分別是左、右焦點，過F₁的直線與圓（x+c）²+（y+2）²=1相切，且與橢圓E交于A、B兩點．
（1）當AB=

16

5

時，求橢圓E的方程；
（2）求弦AB中點的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）設出橢圓方程與切線方程，利用過F₁的直線與圓（x+c）²+（y+2）²=1相切，求得切線的斜率，將切線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式，即可求得橢圓E的方程；
（2）由（1）得，AB的中點（-

4c

5

，

3 c

5

）或（-

4c

5

，-

3 c

5

），進而可得弦AB的中點軌跡方程．

解答：解：橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，可設橢圓E：

x2

4

+

y2

3

=c2
根據(jù)已知設切線AB為：y=k（x+c），即kx-y+ck=0，
（1）圓（x+c）²+（y+2）²=1的圓心（-c，-2）到直線kx-y+ck=0的距離為d=

2

1+k2

=1，
∴k=±

3

∴切線AB為：y=±

3

（x+c），與橢圓方程聯(lián)立，可得5x²+8cx=0，
∴x₁=0，x₂=-

8c

5

∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

16c

5

=

16

5

，∴c=1，
∴橢圓E的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．（9分）
（2）由（1）得，AB的中點（-

4c

5

，

3 c

5

）或（-

4c

5

，-

3 c

5

）
故弦AB的中點軌跡方程為

3

x+4y=0(x＜0)和

3

x-4y=0(x＜0)．（13分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長公式，解題的關(guān)鍵是確定橢圓的標準方程，屬于中檔題．