Question

橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，F1(-c，0)，F2(c，0)分別是左、右焦點(diǎn)，過F₁的直線與圓（x+c）²+（y+2）²=1相切，且與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)AB=

16

5

時，求橢圓E的方程；
（2）若直線AB的傾斜角為銳角，當(dāng)c變化時，求證：AB的中點(diǎn)在一定直線上．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，可設(shè)橢圓E：

x2

4

+

y2

3

=c2，設(shè)切線AB為：y=k（x+c），即kx-y+ck=0，利用圓（x+c）²+（y+2）²=1的圓心（-c，-2）到直線kx-y+ck=0的距離為d=

2

1+k2

=1，求得斜率，再將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元，利用弦長即可求得橢圓E的方程；
（2）由（1）及已知得AB的中點(diǎn)（-

4c

5

，

3 c

5

），從而可得結(jié)論．

解答：（1）解：由橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，可設(shè)橢圓E：

x2

4

+

y2

3

=c2
根據(jù)已知設(shè)切線AB為：y=k（x+c），即kx-y+ck=0，
圓（x+c）²+（y+2）²=1的圓心（-c，-2）到直線kx-y+ck=0的距離為d=

2

1+k2

=1
∴k=±

3

∴切線AB為：y=±

3

（x+c），與橢圓方程聯(lián)立，消元可得5x²+8cx=0
∴x₁=0，x₂=-

8c

5

，
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

16c

5

=

16

5

∴c=1，
∴橢圓E的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．（9分）
（2）證明：由（1）及已知得，AB的中點(diǎn)（-

4c

5

，

3 c

5

），
故弦AB的中點(diǎn)在定直線

3

x+4y=0（x＜0）上．（13分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程是關(guān)鍵．