Question

【題目】已知數(shù)列{an}，{bn}，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，向量 =（1，bn）， =（an﹣1，Sn）， ∥ ．
（1）若bn=2，求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；
（2）若bn= ，a2=0．
①證明：數(shù)列{an}為等差數(shù)列；
②設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn= ，問是否存在正整數(shù)l，m（l＜m，且l≠2，m≠2），使得cl、c2、cm成等比數(shù)列，若存在，求出l、m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)? =（1，bn）， =（an﹣1，Sn）， ∥ ．

得Sn=（an﹣1）bn，當(dāng)bn=2，則Sn=2an﹣2 ①，

當(dāng)n=1時(shí)，S1=2a1﹣2，即a1=2，

又Sn+1=2an+1﹣2 ②，

②﹣①得Sn+1﹣Sn=2an+1﹣2an，

即an+1=2an，又a1=2，

所以{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，

所以an=2n．

（2）解：①證明：因?yàn)? ，則2Sn=nan﹣n③，

當(dāng)n=1時(shí)，2S1=a1﹣1，即a1=﹣1，

又2Sn+1=（ n+1）an+1﹣（n+1）④，

④﹣③得

2Sn+1﹣2Sn=（n+1）an+1﹣nan﹣1，

即（n﹣1）an+1﹣nan﹣1=0 ⑤，

又nan+2﹣（n+1）an+1﹣1=0⑥

⑥﹣⑤得，nan+2﹣2nan+1+nan=0，

即an+2+an=2an+1，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

②又a1=﹣1，a2=0，

所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為﹣1，公差為1的等差數(shù)列．

an=﹣1+（n﹣1）×1=n﹣2，所以 ，

假設(shè)存在l＜m（l≠2，m≠2），使得cl、c2、cm成等比數(shù)列，即 ，

可得 ，

整理得5lm﹣4l=4m+4即 ，由 ，得1≤m≤8，

一一代入檢驗(yàn) 或 或 或 或 或 或 或

由l＜m，所以存在l=1，m=8符合條件．

【解析】（1）利用兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系得到Sn=（an﹣1）bn ， 進(jìn)一步對(duì)n取值，得到數(shù)列{an}是等差數(shù)列；（2）①由 ，則2Sn=nan﹣n③，又2Sn+1=（ n+1）an+1﹣（n+1）④，兩式相減即可得到數(shù)列{an}的遞推公式，進(jìn)一步對(duì)n 取值，得到數(shù)列{an}是首項(xiàng)為﹣1，公差為1的等差數(shù)列．
②由①得到數(shù)列{cn}通項(xiàng)公式，根據(jù)m，l的范圍討論可能的取值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等差關(guān)系的確定和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．