Question

已知角A∈（

π

2

，π），且sinA、cosA是一元二次方程25x²-5x+m=0的兩個(gè)實(shí)根．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）求M=sin²AtanA+

cos2A

tanA

-

1-sinA-cosA

sinAcosA

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)條件和韋達(dá)定理列出方程，再由（sinA+cosA）²=1+2sinAcosA列出關(guān)于m的方程，再求出m的值；
（2）由（1）求出方程的兩個(gè)根，再由A的范圍求出sinA和cosA，將式子利用商的關(guān)系：切化弦，化簡(jiǎn)后將sinA和cosA的值代入求值．

解答： 解：（1）由題設(shè)知：

sinA+cosA= 1 5 sinAcosA= m 25

，
因?yàn)椋╯inA+cosA）²=1+2sinAcosA，
所以

1

25

=1+

2m

25

，解得m=-12；
（2）將m=-12代入原方程得25x²-5x-12=0，
解得方程兩根依次為

4

5

、-

3

5

，
由A∈(

π

2

，π)得，sinA＞0、cosA＜0，
則sinA=

4

5

、cosA=-

3

5

．
則M=sin2AtanA+

cos2A

tanA

-

1-sinA-cosA

sinAcosA

=

sin3A

cosA

+

cos3A

sinA

+2sinAcosA-

1-sinA-cosA

sinAcosA

=

sin4A+cos4A+2sin2Acos2A-1+sinA+cosA

sinAcosA

=

(sin2A+cos2A)2-1+sinA+cosA

sinAcosA

=

sinA+cosA

sinAcosA

=-

5

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及韋達(dá)定理的綜合應(yīng)用，注意三角函數(shù)值的符號(hào)，切化弦基本原則，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．