Question

設(shè)函數(shù) 
（Ⅰ）證明對每一個(gè)，存在唯一的，滿足；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的構(gòu)成數(shù)列，判斷數(shù)列的單調(diào)性并證明；
（Ⅲ）對任意，滿足（Ⅰ），試比較與的大小.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）數(shù)列單調(diào)遞減，證明詳見解析；（Ⅲ） ．

試題分析：（Ⅰ）證明對每一個(gè)，存在唯一的，滿足，只需證明兩點(diǎn)，第一證在上為單調(diào)函數(shù)，第二證，在區(qū)間的端點(diǎn)的函數(shù)值異號，本題是高次函數(shù)，可用導(dǎo)數(shù)法判斷單調(diào)性，而判斷的符號是，可用放縮法；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的構(gòu)成數(shù)列，判斷數(shù)列的單調(diào)性，由（Ⅰ）知在上遞增，只需比較的大小，由（Ⅰ）知，故，而，從而得到，而，所以，這樣就可判斷數(shù)列的單調(diào)性；（Ⅲ）對任意，滿足（Ⅰ），試比較與的大小，由（Ⅱ）知數(shù)列單調(diào)遞減，故，即比較與的大小，由（Ⅰ）知，寫出與的式子，兩式作差即可．本題函數(shù)與數(shù)列結(jié)合出題，體現(xiàn)學(xué)科知識交匯點(diǎn)的靈活運(yùn)用，的確是一個(gè)好題，起到把關(guān)題的作用．
試題解析：（Ⅰ） ，顯然,當(dāng)時(shí),,故在上遞增，又，，故存在唯一的，滿足 ；
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240228492791245.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，，由（Ⅰ）知在上遞增，故，即數(shù)列單調(diào)遞減；
（Ⅲ） 由（Ⅱ）數(shù)列單調(diào)遞減，故，而， ，兩式相減：并結(jié)合，以及，　，所以有 ．