已知f(θ)=sin2θ+2mcosθ-2m-2,θ∈R.
(1)對任意m∈R,求f(θ)的最大值g(m);
(2)若f(θ)<0對任意θ∈R恒成立,求m的取值范圍.
分析:(1)f(θ)=-(cosθ-m)2+m2-2m-1,令t=cosθ,則t∈[-1,1],h(t)=-(t-m)2+m2-2m-1,按①m<-1,②-1≤m≤1,③m>1三種情況進(jìn)行討論即可求得g(m);
(2)f(θ)<0對任意θ∈R恒成立等價(jià)于g(m)<0,借助(1)問結(jié)論即可求得;
解答:解:(1)f(θ)=sin2θ+2mcosθ-2m-2=1-cos2θ+2mcosθ-2m-2=-(cosθ-m)2+m2-2m-1,
令t=cosθ,則t∈[-1,1],h(t)=-(t-m)2+m2-2m-1,
①若m<-1,則g(m)=h(-1)=-(-1-m)2+m2-2m-1=-4m-2;
②若-1≤m≤1,則g(m)=h(m)=m2-2m-1;
③若m>1,則g(m)=h(1)=-(1-m)2+m2-2m-1=-2;
綜上所述,g(m)=
-4m-2,m<-1
m2-2m-1,-1≤m≤1
-2,m>1

(2)f(θ)<0對任意θ∈R恒成立等價(jià)于g(m)<0,
由(1)知,當(dāng)m<-1時(shí),g(m)=-4m-2<0,解得m>-
1
2
,此時(shí)無解;
當(dāng)-1≤m≤1時(shí),g(m)=m2-2m-1<0,解得1-
2
<m<1+
2
,所以1-
2
<m≤1;
當(dāng)m>1時(shí),g(m)=-2<0成立;
綜上,m的取值范圍為:(1-
2
,+∞).
點(diǎn)評:本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及恒成立問題,考查分類討論思想,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(a)=
sin(π-α)•cos(2π-α)•tan(
2
-α)
cot(-α-π)•sin(-π-α)

(1)化簡f(a);
(2)若cos(a-
2
)=
1
5
,且a是第三象限角,求f(a).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=
sinπx, -
13
6
≤x≤0
lgx      ,   x>0
,若函數(shù)g(x)=f(x)-k有三個(gè)不同的零點(diǎn),則k的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=sin(3x+θ)-cos(3x+θ)是奇函數(shù)且在區(qū)間[0,
π
6
]
上是減函數(shù),則θ的一個(gè)值是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=sinπx.
(1)設(shè)g(x)=
f(x),(x≥0)
g(x+1)+1,(x<0)
,求g(
1
4
)
g(-
1
3
)
;
(2)設(shè)h(x)=f2(x)+
3
f(x)cosπx+1
,求h(x)的最大值及此時(shí)x值的集合.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=sin
π
3
(x+1)-
3
cos
π
3
(x+1),則f(1)+f(2)+…+f(2014)=
 

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