Question

19．如圖，平面EFGH分別平行于CD，AB，點E，F(xiàn)，G，H分別在AC，AD，BD，BC上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB．
（1）求證：四邊形EFGH是矩形；
（2）點E在什么位置時，四邊形EFGH的面積最大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)證明四邊形EFGH是矩形．
（2）根據(jù)邊長關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系，然后求四邊形EFGH的面積．

解答 （1）證明：∵CD∥面EFGH，CD?平面ACD，
平面EFGH∩平面ACD=EF，
∴CD∥EF，同理HG∥CD，
∴EF∥HG，同理HE∥GF，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
∵CD∥EF，HE∥AB，
∴∠HEF（或其補角）為CD和AB所成的角，
又∵CD⊥AB，
∴HE⊥EF，
∴四邊形EFGH為矩形；
（2）解：由（1）可知在△ABC中EH∥AB，
記$\frac{CH}{CB}$=$\frac{EH}{AB}$=λ（0＜λ＜1），則EH=λb，
在△BCD中GH∥CD，則$\frac{BH}{BC}$=$\frac{GH}{CD}$=1-λ，
∴GH=a（1-λ），
又∵四邊形EFGH是矩形，
∴S_矩形EFGH=a（1-λ）•λb
≤ab•$（\frac{1-λ+λ}{2}）^{2}$
=$\frac{ab}{4}$，當且僅當λ=1-λ即λ=$\frac{1}{2}$時等號成立，
即H為BC的中點時，矩形EFGH的面積最大為$\frac{ab}{4}$．

點評 本題主要考查空間直線和平面位置關(guān)系的判斷和應(yīng)用，考查學(xué)生的運算和推理能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．