Question

11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是以O(shè)為中心的正方形，PO⊥底面ABCD，E為BC邊的中點(diǎn)，PE⊥PA．
（1）求證：平面PAE⊥平面PAD；
（2）求直線AC與平面PAD所成的角．

Answer 1

分析 （1）連接DE，證得△PDE≌△PAE，由線面垂直的判定和面面垂直的判定定理，即可得證；
（2）可設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，PA=x，由線面垂直的性質(zhì)和勾股定理，可得x，設(shè)C到平面PAD的距離為d，運(yùn)用等積法，可得d，再由線面所成的角的正弦，可得所成的角．

解答 （1）證明：連接DE，
由DE=AE，PD=PA，PE=PE，
可得△PDE≌△PAE，
由PE⊥PA，可得PE⊥PD，
PA∩PD=P，
可得PE⊥平面PAD，
PE?平面PAE，
可得平面PAE⊥平面PAD；
（2）解：可設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，PA=x，
則PE=$\sqrt{A{E}^{2}-P{A}^{2}}$=$\sqrt{5-{x}^{2}}$，
又PE=$\sqrt{P{B}^{2}-1}$=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，
解得x=$\sqrt{3}$，
△PAD的面積為$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
設(shè)C到平面PAD的距離為d，
則V_P-ACD=V_C-PAD，
即有$\frac{1}{3}$×1×$\frac{1}{2}$×4=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{2}$d，
解得d=$\sqrt{2}$，
又AC=2$\sqrt{2}$，
即有直線AC與平面PAD所成的角的正弦為$\fracn7acqb8{AC}$=$\frac{1}{2}$，
則直線AC與平面PAD所成的角為30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的判定和直線和平面所成角的求法，考查空間直線和平面的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．