Question

【題目】已知函數(shù)，

（Ⅰ）若的圖像在處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值及切線方程；

（Ⅱ）若過點存在3條直線與曲線相切，求的取值范圍

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

（I）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)圖像在處切線的斜率，根據(jù)兩條直線垂直斜率的關(guān)系列方程，解方程求得的值，求得切點坐標后求出切線方程.（II）設(shè)切點坐標，利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程，將代入切線方程并化簡，構(gòu)造函數(shù)，將條切線問題轉(zhuǎn)化為直線與有三個不同交點問題來解決，利用導(dǎo)數(shù)求得的極大值和極小值，由此求得的取值范圍.

（Ⅰ）由得，于是在處的切線的斜率為.

由于切線與直線垂直，所以. 故實數(shù)的值為.

當(dāng)時，切點為，切線為;

當(dāng)時，切點為，切線為.

（Ⅱ）設(shè)切點坐標，切線斜率為，則有，所以切線方程為：

因為切線過，所以將代入直線方程可得：

,

所以問題等價于方程，令,

即直線與有三個不同交點.

由，令解得,

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.的極大值為，極小值為,所以若有三個交點，則,

所以當(dāng)時，過點存在條直線與曲線相切 .