Question

16．在△ABC中，D為AC上一點，且$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}，P$為BD上一點，且滿足$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}（m＞0，n＞0）$，則$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值是9．

Answer 1

分析 利用向量共線定理可得：m+4n=1，再利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}$，∴$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$=$m\overrightarrow{AB}$+4n$\overrightarrow{AD}$，
∵P為BD上的一點，∴m+4n=1．
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=（m+4n）$（\frac{1}{m}+\frac{1}{n}）$=5+$\frac{4n}{m}$+$\frac{m}{n}$≥5+2$\sqrt{\frac{4n}{m}×\frac{m}{n}}$=9，
當且僅當m=2n=$\frac{1}{3}$時取等號．
故答案為：9．

點評 本題考查了向量共線定理、“乘1法”與基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．