Question

已知點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0），△ABC的周長(zhǎng)為2+2．記動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線W．
（1）直接寫(xiě)出W的方程（不寫(xiě)過(guò)程）；
（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，）且斜率為k的直線l與曲線W 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，是否存在常數(shù)k，使得向量+與向量共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）設(shè)W的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)R在直線l：x-y+8=0上．當(dāng)∠F₁RF₂取最大值時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的定義能夠直接寫(xiě)出W的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+，代入橢圓方程，得（+k²）x²+2kx+1=0．因?yàn)橹本�l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以△=8k²-4（+k²）=4k²-2＞0，解得k＜-或k＞．設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則+=（x₁+x₂，y₁+y₂），x₁+x₂，=-．y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2．所以+與向量（-2，1）共線等價(jià)于x₁+x₂=-（y₁+y₂），由此能夠推導(dǎo)出不存在常數(shù)k，使得向量+與共線．
（3）當(dāng)∠F₁RF₂取最大值時(shí)，過(guò)R、F₁、F₂的圓的圓心角最大，故其半徑最小，與直線l相切．由此能求出當(dāng)∠F₁RF₂取最大值時(shí)，求的值．
解答：解：（1）W：+y²=1（y≠0）．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+，代入橢圓方程，得+（kx+）²=1．
整理，得（+k²）x²+2kx+1=0．①
因?yàn)橹本�l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于
△=8k²-4（+k²）=4k²-2＞0，解得k＜-或k＞．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則+=（x₁+x₂，y₁+y₂），
由①得x₁+x₂，=-．②
又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2             ③
所以+與向量（-2，1）共線等價(jià)于x₁+x₂=-（y₁+y₂），
將②③代入上式，解得k=．
所以不存在常數(shù)k，使得向量+與共線
（3）當(dāng)∠F₁RF₂取最大值時(shí)，過(guò)R、F₁、F₂的圓的圓心角最大，故其半徑最小，與直線l相切．
直線l與x軸于S（-8，0），∵△F₁SR∽△RSF₂∴．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．