Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax²-x（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若x＞0時(shí)，f（x）＞0，求證：a＜

12

7

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．
（Ⅱ）根據(jù)條件將不等式f（x）＞0進(jìn)行，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，即可求證不等式．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f（x）=e^x-

1

2

x²-x，
f′（x）=e^x-x-1=g（x），
則g′（x）=e^x-1，
當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞遞增，
∵g（0）=0，∴g（x）≥0，即f′（x）≥0恒成立，此時(shí)函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
即f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，+∞）
（Ⅱ）若x＞0時(shí)f（x）＞0，得e^x-ax²-x＞0，
即a＜

ex-x

x2

，設(shè)h（x）=

ex-x

x2

，
則h′（x）=

(x-2)ex+x

x3

，令m（x）=（x-2）e^x+x，
則m′（x）=（x-1）e^x+1，再令n（x）=（x-1）e^x+1，
則n′（x）=xe^x＞0，即n（x）為增函數(shù)，即m′（x）＞m′（0）=0，
則m（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，即h′（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
由m（

3

2

）=

3-e 3 2

2

＜0，m（

7

4

）=

7-e 7 4

4

＞0知，在區(qū)間（

3

2

，

7

4

）內(nèi)m（x）存在唯一零點(diǎn)，
即在區(qū)間（

3

2

，

7

4

）內(nèi)h′（x）存在唯一零點(diǎn)，即h′（x₀）=0，x₀∈（

3

2

，

7

4

），
當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，
即x=x₀時(shí)，h（x）取得最小值h（x₀）=

ex0-x0

x02

=

x0 2-x0 -x0

x02

=

x0-1

-x02+2x0

=

1

-(x0-1)+ 1 x0-1

，
當(dāng)令t=x₀-1，則t∈(

1

2

，

3

4

)，則函數(shù)y=

1

1 t -t

是增函數(shù)，
當(dāng)t=

3

4

時(shí)，y=

12

7

，∴a＜h（x₀）＜

12

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，難度較大．