Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-kx+1．求：
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≤0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），而f′（x）=

1

x

-k．能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由（1）知k≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值為f（

1

k

），由此能確定實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=

1

x

-k．
當(dāng)k≤0時(shí)，f′（x）=

1

x

-k＞0，
f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)k＞0時(shí)，若x∈（0，

1

k

）時(shí)，有f′（x）＞0，
若x∈（

1

k

，+∞）時(shí)，有f′（x）＜0，
則f（x）在（0，

1

k

）上是增函數(shù)，在（

1

k

，+∞）上是減函數(shù)．
（2）由（1）知k≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，
又由（1）知f（x）的最大值為f（

1

k

），要使f（x）≤0恒成立，
則f（

1

k

）≤0即可，即-lnk≤0，得k≥1．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，確定實(shí)數(shù)的取值范圍，滲透了分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)．