Question

【題目】如圖，在四棱柱中，側棱底面，，，，，，，（）

（1）求證：平面；

（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的值；

（3）現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼成一個新的四棱柱，規(guī)定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為，寫出的解析式．（直接寫出答案，不必說明理由）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析

（2）

（3）

【解析】

（1）取得中點，連接，可證明四邊形是平行四邊形，再利用勾股定理的逆定理可得，即，又側棱底面，可得，利用線面垂直的判定定理即可證明；

（2）通過建立空間直角坐標系，由線面角的向量公式即可得出；

（3）由題意可與左右平面，，上或下面，拼接得到方案，新四棱柱共有此4種不同方案．寫出每一方案下的表面積，通過比較即可得出．

（1）證明：取的中點，連接，

，，

四邊形是平行四邊形，

，且，，

，，

又，．

側棱底面，，

，平面．

（2）以為坐標原點，、、的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，．

，，．

設平面的一個法向量為，

則，取，則，．

．

設與平面所成角為，則

，

解得，故所求．

（3）由題意可與左右平面，，上或下面，拼接得到方案新四棱柱共有此4種不同方案．

寫出每一方案下的表面積，通過比較即可得出．