Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列．
（1）若，c=2，求△ABC的面積；
（2）若sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

解：解：∵A、B、C成等差數(shù)列，可得2B=A+C．
∴結(jié)合A+B+C=π，可得B=．
（1）∵，c=2，
∴由正弦定理，得sinC===．
∵b＞c，可得B＞C，∴C為銳角，得C=，從而A=π-B-C=．
因此，△ABC的面積為S==×=．
（2）∵sinA、sinB、sinC成等比數(shù)列，即sin²B=sinAsinC．
∴由正弦定理，得b²=ac
又∵根據(jù)余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac，
∴a²+c²-ac=ac，整理得（a-c）²=0，可得a=c
∵B=，∴A=C=，可得△ABC為等邊三角形．
分析：（1）根據(jù)A、B、C成等差數(shù)列，結(jié)合A+B+C=π算出B=，再由正弦定理得sinC==．根據(jù)b＞c得C為銳角，得到C=，從而A=π-B-C=，△ABC是直角三角形，由此不難求出它的面積；
（2）根據(jù)正弦定理，結(jié)合題意得b²=ac，根據(jù)B=利用余弦定理，得b²=a²+c²-ac，從而得到a²+c²-ac=ac，整理得得（a-c）²=0，由此即可得到△ABC為等邊三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形的三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列，在已知兩邊的情況下求面積，并且在邊成等比的情況下判斷三角形的形狀．著重考查了三角形內(nèi)角和定理和利用正、余弦定理解三角形的知識(shí)，屬于中檔題．