Question

四棱錐P-ABCD的四條側(cè)棱長(zhǎng)相等，底面ABCD為正方形，M為PB的中點(diǎn)。

求證：（1）PD∥面ACM；
（2）PO⊥面ABCD；
（3）面ACM⊥面BPD。

Answer 1

證明：（1）連接OM，在正方形ABCD中，OB=OD，又M為PB的中點(diǎn)，
∴PD∥OM，
∵OM面ACM，PD不在面ACM內(nèi)，
∴PD∥面ACM。
（2）∵PA=PC，OA=OC，
∴PO⊥AC，
同理PO⊥BD，
又AC∩BD=O，
∴PO⊥面ABCD。
（3）∵PO⊥面ABCD，
∴PO⊥AC，
在正方形ABCD中，DB⊥AC，
又DB∩PO=O，
∴AC⊥面BDP，
∵AC面ACM，
∴面ACM⊥面BDP。