Question

如圖，設拋物線方程為，為直線上任意一點，過引拋物線的切線，切點分別為．

（1）求證：三點的橫坐標成等差數列；
（2）已知當點的坐標為時，．求此時拋物線的方程。

Answer 1

(1)根據已知條件設出點A,B的坐標，，然后借助于拋物線的導數來得到斜率值，．，進而解方程，得到證明。
(2)拋物線方程為或．

試題分析：（1）證明：由題意設．
由得，得，所以，．
因此直線的方程為，
直線的方程為．
所以，①  ．②
由①減②得，因此，即．
所以 三點的橫坐標成等差數列．              6分
（2）由（1）知，當時，將其代入①、②并整理得：
，，
所以是方程的兩根，
因此，，
又，所以．
由弦長公式得．
又，所以或，
因此所求拋物線方程為或．    12分
點評：解決的關鍵是利用直線與拋物線的相切得到切線的斜率，同時聯(lián)立方程組求解弦長，屬于中檔題。