Question

9．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{-a{x^2}-2ax+3}}{{{x^2}+2x+2}}$．
（1）若a=0，求f（x）的值域；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，解方程f（x）=0；
（3）若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=0的值帶入f（x），從而求出函數(shù)的值域即可；
（2）將a=1帶入f（x），令f（x）=0，解方程即可；
（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為ax²+2ax-3＜0恒成立，通過(guò)討論a的符號(hào)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：（1）a=0時(shí)，$f（x）=\frac{3}{{{x^2}+2x+2}}=\frac{3}{{{{（{x+1}）}^2}+1}}$
分母（x+1）²+1∈[1，+∞），故f（x）∈（0，3]
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，3]；----------------------------------------（5分）
（2）a=1時(shí)，f（x）=$\frac{{-x}^{2}-2x+3}{{x}^{2}+2x+2}$，
則f（x）=0⇒-x²-2x+3=0⇒x=-3或1
即f（x）=0的根為-3，1--------------------（10分）
（3）由題意$\frac{-{ax}^{2}-2ax+3}{{x}^{2}+2x+2}$＞0恒成立，
∵x²+2x+2＞0恒成立，----------------（12分）
∴只要-ax²-2ax+3＞0恒成立即可，
即ax²+2ax-3＜0恒成立
①當(dāng)a=0時(shí)，-3＜0恒成立，符合題意
②當(dāng)a≠0時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\△=4{a^2}+12a＜0\end{array}\right.⇒-3＜a＜0$-------------------------------（15分）
綜上所述：-3＜a≤0--------------------------------------------------（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的值域，解方程問(wèn)題，考查函數(shù)恒成立以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．