已知橢圓，直線與相交于、兩點，與軸、軸分別相交于、兩點，為坐標原點.
（1）若直線的方程為，求外接圓的方程；
（2）判斷是否存在直線，使得、是線段的兩個三等分點，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

（1）；（2）存在，且直線的方程為或.

解析試題分析：（1）先確定三個頂點的坐標，利用其外接圓圓心即為該三角形垂直平分線的交點求出外接圓的圓心，并利用兩點間的距離公式求出外接圓的半徑，從而求出外接圓的方程；（2）將、是線段的兩個三等分點等價轉(zhuǎn)化為線段的中點與線段的中點重合，且有，借助韋達定理與弦長公式進行求解.
試題解析：（1）因為直線的方程為，
所以軸的交點，與軸的交點.
則線段的中點，，
即外接圓的圓心為，半徑為，
所以外接圓的方程為；
（2）結(jié)論：存在直線，使得、是線段的兩個三等分點.
理由如下：
由題意，設(shè)直線的方程為，，，
則，，
由方程組得，
所以，（*）
由韋達定理，得，.
由、是線段的兩個三等分點，得線段的中點與線段的中點重合.
所以，
解得.
由、是線段的兩個三等分點，得.
所以，
即，
解得.
驗證知（*）成立.
所以存在直線，使得、是線段的兩個三等分點，此時直線l的方程為，
或.
考點：1.三角形的外接圓方程；2.韋達定理；3.弦長公式

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知頂點為原點的拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合,與在第一和第四象限的交點分別為.
(1)若是邊長為的正三角形，求拋物線的方程；
(2)若，求橢圓的離心率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知拋物線C的頂點在原點，開口向右，過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦長為2，過C上一點A作兩條互相垂直的直線交拋物線于P,Q兩點.

（1）若直線PQ過定點，求點A的坐標；
（2）對于第（1）問的點A，三角形APQ能否為等腰直角三角形？若能，試確定三角形APD的個數(shù)；若不能，說明理由.

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已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切。
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線與橢圓相交于、兩點，且，試判斷的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由．

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如圖所示，已知、、是長軸長為的橢圓上的三點，點是長軸的一個端點，過橢圓中心，且，．

（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓上是否存點，使得？若存在，有幾個（不必求出點的坐標），若不存在，請說明理由；
（3）過橢圓上異于其頂點的任一點，作圓的兩條線，切點分別為、，，若直線 在軸、軸上的截距分別為、，證明：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的短半軸長為，動點在直線（為半焦距）上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求以為直徑且被直線截得的弦長為的圓的方程；
（3）設(shè)是橢圓的右焦點，過點作的垂線與以為直徑的圓交于點，
求證：線段的長為定值，并求出這個定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

雙曲線的中心在原點，右焦點為，漸近線方程為 .
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)直線：與雙曲線交于、兩點，問：當為何值時，以 為直徑的圓過原點；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線．
(1)若圓心在拋物線上的動圓，大小隨位置而變化，但總是與直線相切，求所有的圓都經(jīng)過的定點坐標；
(2)拋物線的焦點為,若過點的直線與拋物線相交于兩點,若,求直線的斜率；
(3)若過點且相互垂直的兩條直線,拋物線與交于點與交于點．
證明：無論如何取直線,都有為一常數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

拋物線頂點在原點，它的準線過雙曲線＝1(a＞0，b＞0)的一個焦點，并與雙曲線實軸垂直，已知拋物線與雙曲線的一個交點為，求拋物線與雙曲線方程．

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