Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1+2a_na_n+1-a_n=0．
（1）寫出數(shù)列的前5項(xiàng)；
（2）由（1）寫出數(shù)列{a_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式；
（3）實(shí)數(shù)

1

99

是否為這個(gè)數(shù)列中的一項(xiàng)？若是，應(yīng)為第幾項(xiàng)？

Answer 1

分析：（1）由已知a_n+1+2a_na_n+1-a_n=0得遞推關(guān)系式an+1=

an

1+2an

．進(jìn)而由a₁=1可求得a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）利用（1）得出的前5項(xiàng)即可猜想出通項(xiàng)公式；
（3）利用通項(xiàng)公式解出n是否是正整數(shù)即可得到答案．

解答：解：（1）由于數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1+2a_na_n+1-a_n=0，∴可得an+1=

an

1+2an

．
∴a2=

a1

1+2a1

=

1

1+2×1

=

1

3

；
a3=

a2

1+2a2

=

1 3

1+2× 1 3

=

1

5

；
a4=

a3

1+2a3

=

1 5

1+2× 1 5

=

1

7

；
a5=

a4

1+2a4

=

1 7

1+2× 1 7

=

1

9

．
（2）由（1）可猜想數(shù)列{a_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=

1

2n-1

（n∈N^*）．
（3）假設(shè)實(shí)數(shù)

1

99

是這個(gè)數(shù)列中的一項(xiàng)，則

1

99

=

1

2n-1

，解得n=50．
因此

1

99

是這個(gè)數(shù)列的第50 項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng)：正確理解遞推關(guān)系是解題的關(guān)鍵．