Question

若不等式x²+ax+1≥0對(duì)一切x∈(0，

2

3

]都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A．（-∞，0）
• B．（-∞，-2]
• C．[-

  13

  6

  ，+∞)
• D．[-2，+∞）

Answer 1

分析：對(duì)于不等式的左邊，設(shè)函數(shù)f（x）=x²+ax+1，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，

2

3

]上的最小值大于或等于0．然后通過二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分別在三種情況下討論函數(shù)f（x）的最小值大于或等于零，得到三個(gè)符合題意的實(shí)數(shù)a的取值，最后綜合可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵不等式x²+ax+1≥0對(duì)一切x∈(0，

2

3

]都成立，
∴函數(shù)f（x）=x²+ax+1在區(qū)間（0，

2

3

]上的最小值大于或等于0
而函數(shù)f（x）=x²+ax+1的圖象是一條開口向上的拋物線，
其對(duì)稱軸為x=-

a

2

，下面分三種情況討論函數(shù)的最小值
①當(dāng)x=-

a

2

≤0時(shí)，即a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，

2

3

]上為增函數(shù)
∴函數(shù)f（x）的最小值大于f（0）=1≥0，符合題意．此時(shí)a≥0；
②當(dāng)x=-

a

2

∈（0，

2

3

]時(shí)，即-

4

3

≤a＜0時(shí)，
函數(shù)f（x）的最小值為f（-

a

2

）=1-

1

4

a2≥0，-2≤a≤2，
∴-

4

3

≤a＜0；
③當(dāng)x=-

a

2

＞

2

3

時(shí)，即a≤-

4

3

時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，

2

3

]上為減函數(shù)
∴函數(shù)f（x）的最小值f（

2

3

）=

2a

3

+

13

9

≥0，可得a≥-

13

6

因此-

13

6

≤a≤-

4

3

．
綜上所述，得實(shí)數(shù)a的取值范圍是：a≥-

13

6

故選C

點(diǎn)評(píng)：本題借助于一個(gè)一元二次不等式恒成立的問題，著重考查了一元二次不等式的應(yīng)用和二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值最值等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．